Abschnitt 1
Einführung
Vielleicht stellt sich dir diese Frage schon länger: Wozu braucht man die Kreiszahl Pi überhaupt? Genau darum geht es in diesem Kapitel.
Abschnitt 2
Umfang und Durchmesser eines Kreises
Die hauptsächliche Verwendung von Pi, nach der die Kreiszahl auch definiert ist, ist das Umrechnen von Durchmesser in Umfang eines Kreises oder umgekehrt. Das hast du ja bereits im ersten Teil ausprobieren können. Wie du weißt, gilt hier die Formel:
U = π · d
U: Umfang, d: Durchmesser
Bei dieser Formel musst du aufpassen, dass du tatsächlich mit dem Durchmesser des Kreises rechnest, und nicht etwa mit dem Radius. Das kann man schnell mal verwechseln. Hast du nur den Radius gegeben, kannst du ihn einfach verdoppeln, um den Durchmesser zu erhalten.
Hilfestellung
Wo ist der Unterschied, zwischen Durchmesser und Radius?
Stell dir vor, du ziehst eine Linie vom Mittelpunkt des Kreises zu
einem Punkt auf dem Rand. Die Länge dieser Linie nennen wir Radius.
Stell dir nun vor, du ziehst eine Linie von einer Seite des Kreises
durch den Mittelpunkt zur anderen. Die Länge dieser Linie nennen wir
Durchmesser. Diese Linie besteht aus zwei gleich langen Teilen. Der
erste Teil geht von der einen Seite des Kreises zu seinem
Mittelpunkt, der zweite Teil vom Mittelpunkt zur anderen Seite.
Beide Teile der Linie haben somit die Länge des Radius', sodass der
Durchmesser doppelt so groß wie der Radius ist.
Herausforderung 1
Beantworte vier Fragen zu der Formel. Überlege dir vor jeder Frage, welche Größen du gegeben hast, und welche du suchst. Forme anschließend die Formel so um, dass du damit die fehlende Größe berechnen kannst.
0/4 richtig
Abschnitt 3
Radius und Fläche eines Kreises
Pi ist auch nützlich, wenn du aus dem Radius eines Kreises die Fläche berechnen möchtest, oder umgekehrt aus der Fläche den Radius. Eine passende Formel dazu wollen wir uns im folgenden herleiten.
Dazu zerschneiden wir einen Kreis wie eine Pizza in 8 Pizzastücke. Statt nun den Flächeninhalt des ganzen Kreises zu berechnen, wollen wir im ersten Schritt den Flächeninhalt eines Pizzastücks berechnen, und damit auf den Flächeninhalt des Kreises schließen.
Das Pizzastück hat leider eine eher ungewöhnliche Form, und deshalb ist es nicht einfach, dessen Flächeninhalt zu berechnen. Schneiden wir den Kreis statt in 8 Pizzastücke jedoch in 16 Pizzastücke, können wir erkennen, dass das Pizzastück mehr wie ein Dreieck aussieht.
Schneiden wir den Kreis in immer mehr Pizzastücke, nähert sich die Form eines Pizzastücks immer mehr der eines Dreiecks an. Das kannst du auch in der Abbildung erkennen, wenn du mit dem Schieberegler die Anzahl der Pizzastücke veränderst.
Wir können also annehmen, dass ein Pizzastück die Form eines Dreiecks hat, wenn wir die Pizza in unendlich viele Pizzastücke schneiden. Das ist super, denn den Flächeninhalt eines Dreiecks können wir leicht berechnen! Hier gilt die Formel:
A =
1
2
· g · h
A: Flächeninhalt des Dreiecks, g: Länge der Grundseite, h: Höhe
Für unser Pizzadreieck wählen wir die Grundseite so, dass sie die äußere Seite des Dreiecks ist, also der Rand der Pizza. Das kannst du auch in der Abbildung erkennen. Alle Grundseiten zusammen ergeben so den Umfang des Kreises. In der Abbildung ist dies zur Übersicht mit wenigen Pizzastücken dargestellt. Eigentlich müssten wir die Pizza in unendlich viele Pizzastücke schneiden, um tatsächlich von einem Dreieck sprechen zu können.
Die Länge einer Grundseite ist damit ein Anteil des Umfangs. Wie groß dieser Anteil ist, hängt davon ab, in wie viele Stücke wir den Kreis schneiden. Da alle Pizzadreiecke gleich groß sind, können wir folgende Formel für die Länge der Grundseite verwenden:
g =
1
n
· U
g: Länge der Grundseite, n: Anzahl der Pizzastücke, U: Umfang des Kreises
Um die Höhe zu ermitteln, überlegen wir uns, was genau die Höhe in unserem Pizzadreieck ist. Sie geht von der Grundseite aus zur inneren Spitze des Pizzadreiecks. Dies ist eine Linie vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises.
Vielleicht ist dir schon aufgefallen: die Länge dieser Linie ist damit einfach der Radius! Somit gilt für die Höhe h und den Radius r:
h = r
h: Höhe des Dreiecks, r: Radius des Kreises
Perfekt! Wir haben nun die Länge der Grundseite und die Höhe eines Pizzadreiecks. Berechnen wir seinen Flächeninhalt! Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt wie oben besprochen:
A =
1
2
· g · h
A: Flächeninhalt des Dreiecks, g: Länge der Grundseite, h: Höhe
Setzen wir nun unsere Formeln für g und h ein, erhalten wir:
A =
1
2
1
n
· U · r
A: Flächeninhalt des Dreiecks, n: Anzahl der Pizzastücke, U: Umfang des Kreises, r: Radius
Wir wissen ja bereits aus dem ersten Teil, dass der Umfang eines Kreises U = π · d ist. Außerdem wissen wir, dass der Durchmesser das doppelte des Radius' ist, somit gilt für den Umfang auch: U = π · 2 · r . Das können wir in unsere Formel für den Flächeninhalt eines Pizzadreiecks einsetzen, und erhalten:
A =
1
2
1
n
· π · 2 · r · r
A: Flächeninhalt des Dreiecks, n: Anzahl der Pizzastücke, r: Radius
Das können wir noch weiter zusammenfassen zu:
A =
1
n
· π · r²
A: Flächeninhalt des Dreiecks, n: Anzahl der Pizzastücke, r: Radius
Wollen wir nun vom Flächeninhalt eines Pizzastücks auf den Flächeninhalt des gesamten Kreises schließen, müssen wir den Flächeninhalt eines Pizzastücks mit der Anzahl der Pizzastücke n multiplizieren. Alle Pizzastücke zusammen ergeben schließlich den ganzen Kreis. Für den Flächeninhalt des Kreises gilt somit:
AKreis = n · ADreieck
AKreis: Flächeninhalt Kreis, n: Anzahl der Pizzastücke, ADreieck: Flächeninhalt Dreieck
Setzt man die Formel für den Flächeninhalt eines Pizzadreiecks ein, erhält man:
AKreis = n ·
1
n
· π · r²
AKreis: Flächeninhalt Kreis, n: Anzahl der Pizzastücke, r: Radius
Zusammengefasst ergibt sich:
AKreis = · π · r²
AKreis: Flächeninhalt Kreis, r: Radius
Und mit dieser Formel kannst du den Flächeninhalt eines Kreises mithilfe des Radius' berechnen! Puh, das war ziemlich aufwendig. Aber jetzt haben wir eine einfache Formel, die du verwenden kannst.
Herausforderung 2
Auch hier darfst du nochmal zeigen, dass du die Formel verstanden hast. Gehe genau so vor, wie bei der ersten Herausforderung, und beantworte die vier Fragen.
0/4 richtig
Abschnitt 4
Weitere Anwendungen
Pi findet auch bei Zylindern eine Anwendung. Die Oberfläche eines Zylinders besteht beispielsweise aus der Fläche der beiden Kreise, addiert mit der Mantelfläche, die genau so breit ist, wie der Umfang der Kreise, und so lang, wie der Zylinder hoch ist.
OZylinder = 2 · AGrundfläche + AMantelfläche
OZylinder: Oberfläche des Zylinders, AGrundfläche: Fläche des Grundkreises, AMantelfläche: Mantelfläche
Daraus ergibt sich die folgende Gleichung für die Oberfläche eines Zylinders:
OZylinder = 2 · π · r² + U · h
OZylinder: Oberfläche des Zylinders, r: Radius des Grundkreises, U: Umfang des Grundkreises, h: Höhe des Zylinders
Für das Volumen eines Zylinders multipliziert man einfach die Fläche eines Grundkreises mit der Höhe des Zylinders:
VZylinder = π · r² · h
VZylinder: Volumen des Zylinders, r: Radius des Grundkreises, h: Höhe des Zylinders
Auch bei Kugeln kann man Pi entdecken. Hier gibt es grundlegend zwei Formeln, die man vielleicht schon einmal gesehen haben sollte:
OKugel = 4π · r²
OKugel: Oberfläche der Kugel, r: Radius der Kugel
VKugel =
4
3
π · r³
VKugel: Volumen der Kugel, r: Radius der Kugel
Abschnitt 5
Zusammenfassung
Die Kreiszahl Pi hat viele Anwendungen. Für den Umfang U eines Kreises gilt: U = π · d. Für die Fläche A eines Kreises gilt: A = π · r². Auch bei Zylindern und Kugeln können mit Pi wichtige Größen berechnet werden. Soweit alles verstanden?