Abschnitt 1
Pi ist eine Zahl
π (gesprochen „Pi“) ist der Name für eine Zahl wie jede andere. Zugegeben, diese Zahl hat einige wirklich spannende Eigenschaften, aber ganz grundlegend ist es auch nur eine Zahl. Um zu verstehen, warum dann gerade diese Zahl ihren eigenen Namen verdient hat, schauen wir uns ein Experiment an.
Abschnitt 2
Ein Experiment
Wir wollen untersuchen, wie der Umfang eines Kreises von seinem Durchmesser abhängt. Das klingt erstmal ziemlich willkürlich, hilft uns aber dabei, das Geheimnis um Pi zu lüften. Dafür werden wir Kreise verschiedener Durchmesser zeichnen, und jeweils den Umfang messen.
Hilfestellung
Was sind Durchmesser und Umfang? Stell dir vor, du ziehst eine Linie von einer Seite des Kreises durch den Mittelpunkt zur anderen. Die Länge dieser Linie nennen wir Durchmesser. Stell dir nun vor, du legst eine Schnur einmal um den Kreis herum. Die Länge dieser Schnur nennen wir Umfang.
Herausforderung 1
0/5
Nimm 5 Messwerte auf. Stelle mit dem unteren Schieberegler einen Durchmesser für den grün gestrichelten Kreis ein. Drücke dann auf „Messen“, um den Umfang des Kreises automatisch zu messen. Dein Messwert wird gespeichert, und du kannst weitere mit anderen Durchmessern aufnehmen. Wenn du mehr als 5 Messwerte aufnimmst, werden die ältesten überschrieben.
Durchmesser
0px
Umfang
??px
Nimm einen Messwert auf
Durchmesser
Umfang
Abschnitt 3
Die Auswertung
Im unteren Diagramm kannst du deine Messwerte als Tabelle und in einem Koordinatensystem aufgetragen sehen. Entlang der Rechtsachse siehst du die eingestellten Durchmesser, entlang der Hochachse die gemessenen Umfänge.
Durchmesser
Umfang
Durchmesser
300mm
Umfang
942.5mm
Wie du erkennen kannst, liegen die Messwerte alle ziemlich genau auf einer Geraden, die durch den Koordinatenursprung, also den Punkt (0; 0), verläuft. Eine solche Gerade heißt Ursprungsgerade. Damit können wir darauf schließen, dass zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises ein proportionaler Zusammenhang besteht. Das bedeutet: Je größer der Durchmesser eines Kreises, desto größer der Umfang.
Hilfestellung
Was ist ein proportionaler Zusammenhang? Ein proportionaler
Zusammenhang beschreibt, wie eine bestimmte Größe von einer anderen
abhängt.
In unserem Fall wird beschrieben, wie der Umfang eines Kreises von
seinem Durchmesser abhängt. Bei einem proportionalen Zusammenhang
gilt, dass wenn sich die eine Größe verändert (also zum Beispiel der
Durchmesser), die andere sich im gleichen Verhältnis verändert (also
zum Beispiel der Umfang). Halbiert sich zum Beispiel der
Durchmesser, halbiert sich der Umfang. Verdreifacht sich der
Durchmesser, verdreifacht sich der Umfang. Und so weiter…
Graphisch kann man einen proportionalen Zusammenhang daran erkennen,
dass die Messwerte auf einer Ursprungsgerade liegen. Mit einer
Formel kann man den Zusammenhang wie folgt ausdrücken:
Größe1 = m · Größe2. m ist dabei der
sogenannte Proportionalitätsfaktor, und beschreibt die Steigung der
Ursprungsgeraden.
Wir wissen nun durch den proportionalen Zusammenhang, das gilt:
U = m · d
U: Umfang, d: Durchmesser, m: Proportionalitätsfaktor
Wir wollen nun herausfinden, wie genau Umfang und Durchmesser des Kreises voneinander abhängen. Dafür wollen wir den Proportionalitätsfaktor m berechnen.
Herausforderung 2
Berechne den Proportionalitätsfaktor auf zwei Nachkommastellen genau und gib ihn in das untere Textfeld ein. Nutze zur Berechnung deine eigenen Messwerte.
Nimm Messwerte auf, um den Faktor zu berechnen
Hilfestellung
Du kannst den Proportionalitätsfaktor m berechnen, indem du die Formel U = m · d nach m umstellst (indem du durch d dividierst) und nacheinander für jeden deiner Messwerte mit dieser Formel einen Wert für m berechnest. Abschließend kannst du den Durchschnitt aller für m berechneten Werte bilden, indem du alle Werte für m addierst, und durch die Anzahl der Messwerte dividierst.
Durchmesser
Umfang
Wir haben nun herausgefunden, dass der Umfang eines Kreises ungefähr 3,1 Mal so groß wie sein Durchmesser ist. Und das gilt für jeden Kreis, unabhängig davon, wie groß er ist!
Leider konnten wir nur einen ungefähren Wert für den Proportionalitätsfaktor finden. Das wir keinen genaueren Wert haben, liegt zum einen daran, dass du dein Ergebnis runden musstest, aber auch daran, dass wir nicht genau genug messen konnten. Aber wir haben schon eine gute Annäherung an den exakten Proportionalitätsfaktor machen können.
Abschnitt 4
Die Auflösung
Und jetzt erfährst du, warum wir dieses Experiment gemacht haben: Den exakten Wert für den Proportionalitätsfaktor zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises nennen wir die Kreiszahl Pi (m = π). Das gilt für jeden Kreis, egal wie groß er ist!
Runden wir Pi auf zwei Nachkommastellen genau, erhalten wir 3,14. Und das ist schon sehr nah an unserer eigenen Annäherung dran.
Abschnitt 5
Zusammenfassung
Pi ist der Name für eine bestimmte Zahl. Diese Zahl beschreibt den Zusammenhang zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises. Wenn du etwas noch nicht ganz verstanden hast, lies ruhig noch einmal nach. Wenn du bereit bist, kannst du das nächste Kapitel aufschlagen.