Pi ist irrational

Die Überschrift dieses Kapitels mag für dich vielleicht noch etwas komisch klingen, doch das ist gar nicht schlimm, denn in diesem Kapitel geht es darum, was diese Überschrift eigentlich bedeuten soll.

Im vorherigen Kapitel haben wir gesehen, dass wir nur eine Annäherung für Pi machen konnten, aber nicht den exakten Wert für Pi ermittelt haben. Wir könnten nun natürlich genauer messen, und das Runden von Werten vermeiden. Dadurch kommen wir mit immer genaueren Messungen zwar immer näher an den exakten Wert von Pi heran, aber wir werden ihn nie wirklich erreichen können. Das liegt daran, dass Pi irrational ist.

Eine Zahl gilt als irrational, wenn sie unendlich viele Nachkommastellen hat, und keine Folge von Nachkommastellen enthält, die sich immer wieder wiederholt. Eine solche Zahl ist zum Beispiel Pi, aber es gibt auch andere irrationale Zahlen.

Zu beweisen, dass Pi wirklich eine irrationale Zahl ist, ist gar nicht so einfach. Schauen wir uns dazu einfach mal die ersten 20 Stellen von Pi an:

Bisher sieht Pi sehr irrational aus. Es gibt keine Folge von Nachkommastellen, die sich immer wieder wiederholt. Wir können das für alle möglichen Zahlenkombinationen ausprobieren, wie zum Beispiel für 14, 535 oder 59. Aber sicher kann man sich dadurch noch nicht sein. Vielleicht wiederholen sich die Nachkommastellen auch erst ab der 21. Stelle, oder nach der 200. oder 2000. Wir können niemals alle unendlich vielen Nachkommastellen überprüfen. Deswegen verwendet man für einen Beweis, dass eine Zahl irrational ist, meist eine andere Eigenschaft der irrationalen Zahlen: man kann sie nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellen.

Zahlen kann man mit Zahlenräumen in bestimmte Gruppen einteilen. Zu Beginn lernt man den Zahlenraum der natürlichen Zahlen (ℕ als Symbol) kennen. Dieser umfasst alle ganzen, positiven Zahlen. Also 1, 2, 3, 4, und so weiter. Manchmal wird auch die 0 zu diesem Zahlenraum gezählt.

Die ganzen Zahlen ℤ erweitern die natürlichen Zahlen ℕ um negative Zahlen. Hier findet man also Zahlen wie …, -2, -1, 0, 1, 2, …. Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.

Fügt man jetzt auch noch Zahlen hinzu, die durch Brüche dargestellt werden können, erhält man die rationalen Zahlen ℚ (das Q steht für Quotient, also das Ergebnis einer Division wie bei Brüchen). In diesem Zahlenraum findet man zusätzlich zu allen ganzen Zahlen auch Zahlen wie 0,25 oder ⅓. Alle Kommazahlen, die in den Zahlenraum der rationalen Zahlen eingeteilt werden können, haben entweder eine endliche Anzahl an Nachkommastellen, oder eine Folge von Nachkommastellen, die sich immer wieder wiederholt. Das ist beispielsweise bei ⅓ der Fall. Hier wiederholt sich die 3 nach dem Komma immer wieder.

Wie du nun weißt, gibt es aber auch irrationale Zahlen wie Pi, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Kombiniert werden die rationalen und die irrationalen Zahlen im Zahlenraum der reellen Zahlen ℝ.

Als Bild könnte man die Zahlenräume wie unten gezeigt darstellen. Hier kannst du zum Beispiel sehen, dass alle natürlichen Zahlen auch ganze Zahlen sind, aber nicht alle ganzen Zahlen auch natürliche.

Herausforderung 1

In dem untenstehenden Quiz kannst du beweisen, dass du diesen Exkurs gemeistert hast. Beantworte mindestens 5 Antworten richtig, um diese Herausforderung abzuschließen.

Zu welchen Zahlenräumen gehört diese Zahl?

4,32

ℕ ℤ ℚ ℝ

Überprüfen

Leider falsch, 4,32 gehört zu den Zahlenräumen ℚ, ℝ
Deine Antwort war: ℤ, ℚ, ℝ

Nächste Zahl

Bisher 0 richtig

Nun weißt du, was es mit dem Titel „Pi ist irrational“ auf sich hat. Pi kann man nicht als Bruch ganzer Zahlen schreiben. Einen Beweis dazu werden wir hier nicht zeigen, wer mehr dazu lesen möchte, kann aber hier vorbeischauen: Wikipedia zur Irrationalität von Pi

Häufig wird behauptet, dass in den Nachkommastellen von Pi jede erdenklich mögliche Zifferfolge vorkommen müsste. Immerhin gibt es unendlich viele davon, und nie wiederholt sich eine Ziffernfolge für immer. Doch das ist nicht richtig. Nur weil eine Zahl unendlich viele, sich nicht wiederholende Nachkommastellen besitzt, heißt das nicht, das jede Zahlenfolge darin vorkommt. Stell dir zum Beispiel folgende irrationale Zahl vor:

Jede 1 in den Nachkommastellen wird von einer gewissen Anzahl von Nullen getrennt. Erst ist es eine Null, dann zwei, und so weiter¹. Auch hier wiederholt sich nie eine Zahlenfolge für immer, da immer mehr Nullen die Einsen voneinander trennen. Und in dieser Zahl tauchen ganz sicher nicht alle Zahlenfolgen auf. Versuche zum Beispiel mal eine 2 zu finden.

Dass in Pi alle möglichen Zahlenkombinationen auftreten, ist zwar möglich, doch bewiesen ist es nicht. Und nur die Eigenschaft, dass Pi irrational ist, sagt noch nichts darüber aus, ob wirklich alle Zahlenkombinationen vorkommen.

Mit dem unteren Suchfeld kannst du herausfinden, ob eine von dir gewählte Zahlenkombination, wie zum Beispiel dein Geburtstag, in den ersten 10.000 Nachkommastellen von Pi auftritt. Leider kannst du mit dem Suchfeld nicht alle Nachkommastellen durchsuchen, aber 10.000 Nachkommastellen sind ja schon einmal ein guter Anfang!

Pi ist irrational. Das bedeutet, dass man Pi nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellen kann. Pi besitzt unendlich viele Nachkommastellen, bei denen sich nie eine Ziffernfolge für immer wiederholt. Bereit für das nächste Kapitel?

¹ Beispiel aus dem Video „Findet man wirklich jede Zahlenfolge in Pi?“ von DorFuchs