Pi Annähern

Abschnitt 1

Einführung

Im ersten Kapitel haben wir bereits einen Näherungswert für Pi bestimmt. Das war jedoch ziemlich aufwendig und wir konnten nicht gerade viele Nachkommastellen bestimmen. Wollen wir eine genauere Annäherung für Pi haben, könnten wir den Durchmesser und Umfang des Kreises genauer messen, oder den Kreis vergrößern, um den Anteil des Messfehlers zu minimieren. Beides wird aber schnell umständlich und ist nicht gerade einfach umzusetzen. Stell dir vor, du willst den Umfang eines Kreises messen, der einen Durchmesser von mehreren Kilometern hat. Das wird nicht einfach! Deswegen wollen wir uns in diesem Kapitel Methoden anschauen, wie wir Pi mathematisch annähern können.

Abschnitt 2

Archimedes

Schon seit der Antike versucht man, Pi möglichst genau zu bestimmen. Damals wusste man auch noch nicht, dass Pi irrational ist. Das konnte erst im Laufe des 18. Jahrhunderts bewiesen werden.¹

Bedeutend für die antike Annäherung an Pi ist der griechische Mathematiker Archimedes. Er versuchte 250 v. Chr., Pi zwischen zwei Grenzen einzuschränken.² Er wollte also einen möglichst genauen Wert finden, der gerade so kleiner ist als Pi, und einen, der gerade so größer ist. Dafür überlegte er, dass er ein Sechseck innerhalb und eines außerhalb eines Kreises zeichnen könnte.

Der Umfang des inneren Sechsecks ist kleiner als der Umfang des Kreises, der Umfang des äußeren Sechsecks ist größer als der Umfang des Kreises. Das erkennt man, wenn man sich jeweils die Schnittpunkte der Sechsecke mit dem Kreis anschaut. Die Verbindung zwischen jeden zwei Schnittpunkten des inneren Sechsecks mit dem Kreis ist beim Sechseck immer kürzer als beim Kreis. Umgekehrt sind die Verbindungen zwischen den Schnittpunkten des äußeren Sechsecks mit dem Kreis beim äußeren Sechseck immer länger als beim Kreis.

Wenn wir also den Umfang des inneren und äußeren Sechsecks berechnen können, können wir einen Bereich angeben, in dem der Umfang des Kreises liegen muss. Und dadurch können wir durch die allseits bekannte Formel:

U = π · d

U: Umfang des Kreises, d: Durchmesser des Kreises

auf einen Bereich schließen, indem Pi liegen muss, super! Durch geometrische Überlegungen kann man nun die Umfänge der Sechsecke berechnen. Das ist nicht wirklich schwer, aber braucht einige Schritte. Wenn du dir diese im Detail anschauen möchtest, kannst du hier vorbeischauen: Wikipedia zum Archimedischen Algorithmus. Bei einem Kreis mit dem Durchmesser von 2cm ergibt sich für das innere Sechseck ein Umfang von 6cm, für das äußere ein Umfang von circa 6,93cm. Formt man dies nach Pi um, erhält man folgende Grenzen:

3 < π < 3,46

Pi liegt also zwischen 3 und 3,46. Aber Archimedes hat hier noch nicht aufgehört, sondern hat statt Sechsecken auch 12-, 24-, 48-, und 96-ecke verwendet. Je mehr Ecken, desto genauer konnte Archimedes den Kreis annähern, und somit auch genauere Werte für Pi erhalten. So konnte er Pi auf zwei Nachkommastellen genau annähern. Weiter als bis zum 96-eck ist Archimedes jedoch nicht gekommen, sonst hätte er noch weitere Nachkommastellen berechnen können.

Abschnitt 3

Monte-Carlo-Algorithmus

Eine andere Methode, Pi anzunähern, ist die Annäherung mit dem Monte-Carlo-Algorithmus. Hierfür nehmen wir uns ein Quadrat, mit einer Seitenlänge von 2cm, und zeichnen in dieses einen Kreis mit einem Durchmesser von 2cm. Der Monte-Carlo-Algorithmus funktioniert natürlich auch für alle möglichen anderen Seitenlängen, wir wählen hier nur Werte, mit denen es sich leicht rechnet.

Jetzt wollen wir ganz viele Punkte zufällig innerhalb des Quadrats einzeichnen. Ein Punkt kann dann immer entweder innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen.

Herausforderung 1

Zeichne mithilfe des unteren Diagramms mindestens 1.000 zufällig gewählte Punkte ein.

0

Punkte im Kreis

0

Punkte insgesamt

Mit unseren Messwerten können wir nun die Wahrscheinlichkeit annähern, dass ein zufällig gewählter Punkt innerhalb des Kreises liegt. Dafür teilen wir die Anzahl der Punkte im Kreis, durch die Gesamtzahl der Punkte im Quadrat.

P(im Kreis) =

Punkte im Kreis

Punkte gesamt

P(im Kreis): Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt im Kreis ist

Je mehr Punkte wir zufällig einzeichnen, desto genauer kann der Monte-Carlo-Algorithmus den tatsächlichen Wert für die Wahrscheinlichkeit annähern. Zeichnen wir nur wenige Punkte ein, kann es ja beispielsweise sein, dass zufällig alle Punkte außerhalb des Kreises liegen. Solche Ausreißer werden immer unwahrscheinlicher, je mehr Punkte wir einzeichnen.

Doch wie können wir jetzt mit dieser Wahrscheinlichkeit Pi annähern? Dafür wollen wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt innerhalb des Kreises liegt, noch über eine andere Art bestimmen. Wir schauen uns dazu an, welcher Anteil der Fläche des Quadrats vom Kreis eingenommen wird. Dieser Anteil entspricht nämlich auch der Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Punkt im Kreis liegt.

Um den Flächeninhalt des Quadrats zu bestimmen, müssen wir einfach nur die Seitenlänge quadrieren:

A_Quadrat = (2cm)² = 4cm²

A_Quadrat: Flächeinhalt des Quadrats

Für den Kreis können wir die Formel verwenden, die wir im vorherigen Kapitel kennengelernt haben:

A_Kreis = · π · r²

A_Kreis: Flächeninhalt Kreis, r: Radius

Der Radius unseres Kreises ist 1cm, da wir den Durchmesser auf 2cm festgelegt haben. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt des Kreises:

A_Kreis = π · (1cm)² = πcm²

A_Kreis: Flächeninhalt Kreis

Mit diesen Flächeninhalten können wir den Anteil des Kreises am Quadrat, und damit die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt im Kreis liegt, wie folgt bestimmen:

P(im Kreis) =

A_Kreis

A_Quadrat

πcm²

4cm²

P(im Kreis): Wahrscheinlichkeit im Kreis, A_Kreis: Flächeninhalt Kreis, A_Quadrat: Flächeninhalt Quadrat

In diesem Bruch können wir die cm² kürzen, und erhalten:

P(im Kreis) =